Pertemuan 4

MATERI KEGIATAN PEMBELAJARAN 4

ARITMATIKA BINER

4.1. Tanda Bilangan

4.1.1. Menyatakan Tanda Bilangan Biner

Pada kegiatan pembelajaran sebelumnya kita hanya mengenal bilangan biner  positip atau bilangan biner tak bertanda. Sebagai contoh bilangan biner 8-bit dapat mempunyai nilai antara   0000 00002 = 010 dan 1111 11112 = 25510 yang semuanya bernilai positip. Untuk menyatakan bilangan desimal negatip diberi tanda ‘-‘ yang diletakkan di sebelah kiri, misalnya -25510. Dalam sistem bilangan biner, tanda bilangan negatip disandikan dengan cara tertentu yang mudah dikenal oleh sistem digital. Bilangan negatip pada bilangan biner, dinyatakan dengan bit yang dikenal dengan  bit tanda bilangan (sign bit)  diletakkan di sebelah kiri MSB. Bit tanda bilangan positip  diberi  tanda 0, dan tanda bilangan negatip diberi tanda 1. Tabel 4.1.  menyatakan bilangan biner bertanda yang terdiri dari 8-bit, bit yang paling kiri menunjukkan tanda bilangan dan bit-bit  berikutnya menyatakan besarnya bilangan.

Tabel 4.1.

                                           Nomor Bit

7

6

26

(64)

5

25

(32)

4

24

(16)

3

23

(8)

2

22

(4)

1

21

(2)

0

20

(1)

Tanda Bit

Bobot nilai besarnya bilangan

Contoh

0110 0111 = +(64+32+4+2+1) = +10310

1101 0101 = -(+64+16+4+1) = – 8510

1001 0001 = -(16 + 1) = -1710

0111 1111 = +(64+32+16+8+4+2+1) = +12710

1111 1111 = -(64+32+16+8+4+2+1) = – 12710

1000 0000 = -0 = 0

0000 0000 = +0 = 0

Dari contoh diatas dapat dilihat, karena  besarnya bilangan hanya tujuh bit   maka bilangan terkecil dan terbesar yang ditunjukan bilangan biner bertanda yang terdiri dari 8-bit adalah :[1]111 11112 = – 12710 dan [0]111 11112 = + 12710   dengan bit dalam kurung menunjukkan bit tanda bilangan.

Secara umum, bilangan biner tak bertanda yang terdiri dari n-bit mempunyai nilai maksimum M = 2n – 1. Sementara itu,  untuk bilangan bertanda yang terdiri dari n-bit mempunyai nilai maksimum M = 2n-1 – 1. Sehingga, untuk register 8-bit di dalam  mikroprosesor yang menggunakan sistem bilangan bertanda, nilai terbesar yang bisa disimpan dalam register tersebut adalah :

M   = 2(n-1) – 1

= 2(8-1) – 1

= 27 – 1

= 12810 – 1

= 12710

sehingga  register 8-bit  mikroprosesor mempunyai jangkauan – 12710 sampai +12710.

4.1.2. Menyatakan Tanda Bilangan Biner Negatip.

Ada tiga bentuk yang digunakan menyatakan besarnya bilangan biner negatip yaitu: bentuk true-magnitude form atau bentuk besaran  sebenarnya, bentuk komplemen 1 dan bentuk komplemen 2.

4.1.2.1. Bentuk True-magnitude form.

Bentuk true-magnitude form ditunjukkan pada tabel 4.1. Bit paling kiri selalu mempresentasikan sign bit (tanda bit) dan bit-bit  berikutnya menyatakan besarnya bilangan.

Contoh bentuk true-magnitude form:

101110012 menyatakan bilangan -57 dan 001110012 menyatakan bilangan 57.

4.1.2.2. Bentuk Komplemen 1.

Bentuk komplemen 1 dari setiap bilangan biner diperoleh dengan cara mengubah setiap 0 pada bilangan biner tersebut menjadi 1 dan setiap 1 pada bilangan biner tersebut menjadi 0.

Contoh:

Komplemen1 dari 1 0 1 1 0 1 adalah 0 1 0 0 1 0, hasil ini diperoleh dengan cara mengubah setiap 0 pada bilangan biner menjadi 1 dan setiap 1 pada bilangan biner menjadi 0 sebagai berikut,

1 0 1 1 0 1           bilangan asli dalam bentuk true-magnitude form

0 1 0 0 1 0           hasil perubahan ke bentuk komplemen 1.

Dengan cara yang sama komplemen1 dari 011010 adalah 100101.

Untuk menyatakan bilangan biner negatip dalam bentuk komplemen1 sign bit tidak dikomplenkan, jadi sign bitnya tetap 1, yang dikomplenkan hanya besaran bilangannya.

Contoh:

komplemen1 dari -5710 adalah:

Bilangan -5710  dinyatakan dalam bentuk true-magnitude form= 1 0 1 1 1 0 0 1

Bilangan -5710  dinyatakan dalam bentuk komplemen 1            = 1 1 0 0 0 1 1 0

Sign bit tetap

Dengan cara yang sama komplemen1 dari -1410  adalah

Bilangan -1410  dinyatakan dalam bentuk true-magnitude form= 1 0 0 0 1 1 1 0

Bilangan -1410  dinyatakan dalam bentuk komplemen 1            = 1 1 1 1 0 0 0 1

Sign bit tetap

4.1.2.3. Bentuk Komplemen 2.

Bentuk komplemen 2 dari setiap bilangan biner diperoleh dari bentuk komplemen 1 dan menambah 1 pada posisi LSB nya.

Contoh:

Bilangan -5710  dinyatakan dalam bentuk true-magnitude form= 1 0 1 1 1 0 0 1

Bilangan -5710  dinyatakan dalam bentuk komplemen 1            = 1 1 0 0 0 1 1 0

+  1

Bilangan -5710  dinyatakan dalam bentuk komplemen 2            =  1 1 0 0 0 1 1 1

Sign bit tetap

4.2. Penjumlahan Biner

Penjumlahan bilangan biner serupa dengan penjumlahan pada bilangan desimal. Dua bilangan yang akan dijumlahkan disusun secara vertikal, digit-digit yang mempunyai signifikansi (bobot)  sama ditempatkan pada kolom yang sama. Digit-digit ini kemudian dijumlahkan dan jika jumlahnya lebih besar dari bilangan basisnya      (10 untuk desimal, dan 2 untuk  biner), maka ada bilangan yang disimpan. Bilangan yang disimpan ini kemudian dijumlahkan dengan digit di sebelah kirinya, dan demikian seterusnya. Dalam penjumlahan bilangan biner, penyimpanan akan terjadi jika jumlah dari dua digit yang dijumlahkan adalah 2 atau lebih.

4.2.1.  Penjumlahan Biner Pada Sistem True-magnitude form.

Penjumlahan biner pada sistem true-magnitude form mempunyai aturan dasar untuk penjumlahan  sebagai berikut,

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0, simpan 1 untuk ditambahkan pada posisi berikutnya

Tabel 4.2.a. dan tabel 4.2.b. menunjukkan perbandingan antara penjumlahan pada sistem bilangan desimal dan sistem bilangan biner true-magnitude form, tabel 4.2.a. contoh penjumlahan bilangan desimal 82310 + 23810 dan tabel 4.2.b. contoh penjumlahan bilangan biner true-magnitude form 110012 + 110112.

Tabel 4.2.a.Penjumlahan  sistem bilangan desimal.

103

(1000)

102

(100)

101

(10)

100

(1)

8

2

2

3

3

8

Jumlah

1

0

6

1

Simpan

1

0

1

Dari tabel 4.2.a. diperoleh hasil penjumlahan bilangan desimal 82310 + 23810= 106110

Tabel 4.2.b.  Penjumlahan  sistem bilangan biner

25

(32)

24

(16)

23

(8)

22

(4)

21

(2)

20

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

Jumlah 1 1 0 1 0 0
Simpan 1 1 1 1

Dari tabel 4.1.b.diperoleh hasil penjumlahan bilangan biner 110012+110112.= 1101002.

Langkah penjumlahan biner pada tabel 4.1.b. dapat dijelaskan sebagai berikut:

Kolom satuan :   1 + 1 = 0, simpan 1

Kolom 2an     :   0 + 1 + 1 (yang disimpan) = 0, simpan 1

Kolom 4an     :   0 + 0 + 1 (yang disimpan) = 1

Kolom 8an     :   1 + 1 = 0, simpan 1

Kolom 16an    :   1 + 1 + 1 (yang disimpan) = 1, simpan 1

Kolom 32an    :   yang disimpan 1 = 1

Jika lebih dari dua buah digit biner dijumlahkan, ada kemungkinan yang disimpan lebih besar dari 1. Sebagai contoh,

1 + 1 = 0, simpan 1

1 + 1 + 1 = 1, simpan 1

Contoh berikut menunjukkan penjumlahan dengan penyimpanan lebih besar dari 1.

1 + 1 + 1 + 1 = (1 + 1) + (1 + 1)

= (0, simpan 1) + (0, simpan 1)

= 0, simpan 2;

1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + (1 + 1) + (1 + 1)

= 1, simpan 2

4.2.2. Perbedaan Penjumlahan OR dan Penjumlahan Aritmatik

Penjumlahan OR merupakan operasi logika Boolean yang dilakukan oleh OR gate, yang menghasilkan output 1 apabila salah satu input atau semua inputnya 1. Adapun penjumlahan biner adalah suatu operasi aritmatik yang menghasilkan suatu jumlah aritmatik dari dua buah bilangan biner. Perbedaan penjumlahan OR dan penjumlahan Biner adalah sebagai berikut:

Penjumlahan OR                                             Penjumlahan biner

1 + 1 = 1                                                          1 + 1 = 0 + carry  1

1 + 1 + 1 = 1                                                     1 + 1 + 1 = 1 + carry 1

4.2.3. Penjumlahan Biner Pada Sistem Komplemen 2.

Penjumlahan pada sitem komplemen 2 dan sistem komplemen 1 hampir sama, namun pada umumnya yang banyak dipakai adalah sistem komplemen 2 karena mempunyai keuntungan pelaksanaan rangkaiannya lebih mudah. Terdapat beberapa kasus pada penjumlahan biner bentuk sistem komplemen 2

4.2.3.1. Untuk kasus I Penjumlahan dua bilangan posistip.

Contoh penjumlahan bilangan +9 dengan +4 dapat dilakukan sebagai berikut:

+9           0  1 0 0 1       (yang ditambah)

+4           0  0 1 0 0       (yang menambah)

+

0 1 1 0 1        (jumlah = 13)

                                                     (sign bit)

Pada contoh kasus I sign bit dari yang ditambah dan yang menambah keduanya 0 menujukkan keduanya bilangan positip, demikian juga yang ditambah dan yang menambah jumlah kedua bitnya dibuat sama.

4.2.2.2. Untuk kasus II Penjumlahan bilangan posistip dan bilangan negatip yang nilainya lebih kecil.

Contoh penjumlahan bilangan +9 dengan -4 dapat dilakukan sebagai berikut, langkah pertama yang harus dilakukan pada kasus ini mengubah +4 (00100) dalam bentuk komplemen 2  menjadi -4 (11011+1)=(11100)

+9           0  1 0 0 1       (yang ditambah)

-4           1   1 1 0 0       (yang menambah)

+

Carry dibuang      1   0 0 1 0 1        (jumlah = +5)

 Hasilnya 00101 = +5                      (sign bit)

Pada contoh kasus II sign bit yang menambah adalah 1, sama dengan kasus I sign bit juga ikut dalam proses penjumlahan dan pada contoh ini ternyata  pada proses terakhir diperoleh carry. Carry ini selalu diabaikan sehingga  diperoleh hasil akhir 00101 (+5).

4.2.2.3. Untuk kasus III Penjumlahan bilangan posistip dan bilangan negatip yang nilainya lebih besar.

Contoh penjumlahan bilangan +4 dengan -9 dapat dilakukan sebagai berikut, langkah pertama yang harus dilakukan pada kasus ini mengubah +9 (01001) dalam bentuk komplemen 2  menjadi -9 (10110+1)=(10111)

+4           0  0 1 0 0       (yang ditambah)

-9           1   0 1 1 1       (yang menambah)

+

1  1 0 1 1      (jumlah = -5 dalam bentuk komplemen 2)

                                                    (sign bit)

Pada contoh kasus III  menghasilkan sign bit 1, hal ini menunjukkan hasilnya adalah bilangan negatip dengan empat bit yang lainnya (1011) yang masih dalam bentuk komplemen 2, sehingga  hasil akhirnya perlu diubah ke bentuk komplemen 1 (1011-1) = (1010) dan ke bentuk true-magnitude form =(0101) ekivalen dengan 5, karena hasil sign bitnya 1, maka diperoleh hasil akhir (1  0101) ekivalen dengan (-5).

4.2.2.4. Untuk kasus IV Penjumlahan 2 bilangan negatip.

Contoh penjumlahan bilangan -4 dengan -9 dapat dilakukan sebagai berikut, langkah pertama yang harus dilakukan pada kasus ini mengubah +9 (01001) dalam bentuk komplemen 2  menjadi -9 (10110+1)=(10111) dan mengubah +4(00100) dalam bentuk komplemen 2  menjadi -4 (11011+1)=(11100)

-9           1   0 1 1 1       (yang ditambah)

-4           1   1 1 0 0       (yang menambah)

+

Carry dibuang       1  1  0 0 1 1     (jumlah = -13 dalam bentuk komplemen 2)

                                                    (sign bit)

Pada contoh kasus IV menghasilkan sign bit 1, hal ini menunjukkan hasilnya adalah bilangan negatip dengan empat bit yang lainnya (0011) yang masih dalam bentuk komplemen 2, sehingga  hasil akhirnya perlu diubah ke bentuk komplemen 1 (0011-1) = (0010) dan ke bentuk true-magnitude form =(1101) ekivalen dengan 13, karena hasil sign bitnya 1, maka diperoleh hasil akhir (1  1101) ekivalen dengan (-13).

4.2.2.5. Untuk kasus V Penjumlahan bilangan yang sama dengan tanda berlawanan

Contoh penjumlahan bilangan +9 dengan -9 dapat dilakukan sebagai berikut, langkah pertama yang harus dilakukan pada kasus ini mengubah +9 (01001) dalam bentuk komplemen 2  menjadi -9 (10110+1)=(10111)

+9           0  1 0 0 1       (yang ditambah)

-9            1  0 1 1 1       (yang menambah)

+

1  0 0 0 0      (jumlah = 0)

(sign bit diabaikan)

Pada contoh kasus V  proses  menunjukkan  hasil bilangannya = (0000)  ekivalen dengan (0).

4.3. Pengurangan Biner

Metode yang digunakan pada pengurangan biner sama dengan metode yang digunakan untuk pengurangan pada bilangan desimal. Dalam pengurangan bilangan biner jika, nilai yang dikurangi lebih kecil dari pengurangnya maka dibutuhkan pinjam 1 dari kolom di sebelah kirinya, yaitu kolom yang mempunyai derajat lebih tinggi.

4.3.1.  Pengurangan Biner Pada Sistem True-magnitude form.

Aturan umum untuk pengurangan pada bilanagan biner sistem true-magnitude form adalah sebagai   berikut :

0 – 0 = 0

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

0 – 1 = 1, pinjam 1

Contoh : Kurangilah 11112  dengan 01012

Penyelesaian

Susunlah dua bilangan di atas ke dalam kolom sebagai berikut :

23

(8)

22

(4)

21

(2)

20

(1)

1

0

1

1

1

0

1

1

Hasil

1

0

1

0

(tidak ada yang dipinjam)

Secara lebih rinci, dimulai dari LSB (20 = 1)

Kolom 20             1 – 1 = 0

Kolom 21          1 – 0 = 1

Kolom 22          1 – 0 = 0

Kolom 23             1 – 0 = 1

Sehingga, 11112 – 01012 = 10102

Contoh  Kurangilah 11002 dengan 10102

Penyelesaian

23

(8)

22

(4)

21

(2)

20

(1)

Pinjam

1

1

1

0

 à(22)

0

1

0

      0

Hasil

0

0

1

0

Secara lebih terinci, dimulai dari LSB (20 = 1)

Kolom 20          0 – 0  = 0

Kolom 21          0 – 1 = 1

Dalam kasus ini kita harus meminjam 1 dari bit pada kolom 22. Karena datang  dari kolom 22, maka nilainya 2 kali nilai pada kolom 21. Sehingga, 1 (bernilai 22) – 1 (bernilai 21) = 1 (bernilai 21). Bila meminjam 1 dari kolom di sebelah kiri maka berlaku aturan umum 1 – 1 = 1.

Kolom 22          0 – 0 = 0

Nilai  1 dari kolom 2 diubah menjadi nol karena sudah dipinjam seperti yang ditunjukkan dengan anak panah.

Kolom 23          1 – 1 = 0

Sehingga, 11002 – 10102 = 00102

4.3.2.  Pengurangan Biner Pada Sistem Komplemen 2.

Operasi pengurangan biner pada sistem komplemen 2 hampir sama dengan operasi penjumlahan biner pada sistem komplemen 2. Untuk melakukan proses pengurangan  biner pada sistem komplemen 2 langkah yang harus dilakukan adalah  mempertahankan bilangan yang dikurangi ke dalam bentuk aslinya dan mengubah bilangan pengurang menjadi  bentuk komplemen 2 termasuk sign bitnya (mengubah tanda + menjadi tanda – atau sebaliknya), setelah pengurang diubah menjadi bentuk komplemen 2 langkah selanjutnya adalah menjumlahkan bilangan yang dikurangi dengan bilangan pengurangnya hasil penjumlahannya adalah selisih yang dicari.

Contoh mengurangi  bilangan +9 dengan bilangan +4 dapat dilakukan sebagai berikut:

+ 9          0  1 0 0 1     (bilangan yang dikurangi)

– 4           1  1 1 0 0     (bilangan pengurang -4 dalam bentuk komplemen 2)

+

Carry dibuang       1  0 0 1 0 1        (jumlah = +5)

                                                     (sign bit)

Pada kasus proses pengurangan setelah dijumlahkan  ternyata diperoleh hasil sgin bit 0  dan proses terakhir diperoleh carry. Carry ini selalu diabaikan sehingga  diperoleh hasil akhir 00101 (+5).

4.4. Perkalian Biner

Perkalian bilangan biner dapat dilakukan seperti perkalian pada bilangan desimal.Perkalian pada bilangan biner mempunyai aturan sebagai berikut :

0 x 0 = 0

1 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 1 = 1

Sebagai contoh, untuk mengalikan 11102 = 1410 dengan 11012 = 1310 langkah-langkah yang harus ditempuh adalah :

Biner                              Desimal

1     1     1     0                 1     4

1     1     0     1                 1     3

—————————–                   ———-

1     1     1     0                 4     2

0     0     0     0                   1  4

1     1     1     0

1     1     1     0

———————————– +            ————– +

1   0     1     1     0     1     1     0            1  8     2

Perkalian juga bisa dilakukan dengan menambah bilangan yang dikalikan ke bilangan itu sendiri sebanyak bilangan pengali.

Contoh di atas, hasil yang sama akan diperoleh dengan menambahkan 11102 ke bilangan itu senidiri sebanyak 11012 atau tiga belas kali.

4.5. Pembagian Biner

Pembagian pada sistem bilangan biner dapat dilakukan sama seperti contoh pembagian pada sistem bilangan desimal.

Sebagai contoh:

Membagi 10012 (910) (disebut bilangan yang dibagi) dengan 112 (310)  (disebut pembagi),  dapat dilakukan dengan langkah-langkah  sebagai  berikut,

0 0 11                 Hasil pembagian                    (9 : 3 = 3)

Pembagi      1 1    1 0 0 1                 Bilangan yang dibagi

0 1 1

0 1 1

0 1 1

0

Sehingga 10012 (910)dibagi dengan 112(310)  hasilnya adalah 112(310).

Contoh membagi 10102 (1010) dengan 1002 (410)

0 0 1 0.1                 Hasil pembagian                    (10 : 4= 2.5)

Pembagi      100    1 0 1 0                 Bilangan yang dibagi

1 0 0

1 0 0

1 0 0

0

Pembagian bisa juga dilakukan  dengan cara mengurangkan secara berulang kali bilangan pembagi dengan bilangan yang dibagi sampai jumlahnya sama dengan bilangan  yang dibagi.

Tentang sumberbelajarangga

I will get a suscces man . .
Pos ini dipublikasikan di Elektronika Digital. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s